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0/0の不定形で極限が1となる具体例

0/0の不定形で極限が1となる具体例

生徒と話していて
「\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}b_n =0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1\)となるイメージが分かりません」
と言う。

「\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}b_n =0\)となっても,\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1\)となるとは限らないぞ。それは分かっているか?」
「それは分かっています。でも\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}b_n =0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1\)となることがどんなことなのかさっぱり分からないのです」

そこでそういう具体例を作ってみた。同じような疑問を持っている人には参考になるかも知れない。
\(\displaystyle a_n =\underbrace{0.0\cdots 0}_{0がn個}\, \underbrace{99\cdots 9}_{9がn個}\)
\(\displaystyle b_n =\underbrace{0.0\cdots 0}_{0がn-1個}\, 1\)
としよう。

具体的には
\(a_1 = 0.9\quad b_1 =1\)
\(a_2 = 0.099\quad b_2 =0.1\)
\(a_3 = 0.00999\quad b_3 =0.01\)
のようになる。
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}b_n =0\)
となるのはわかるだろう。

\(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\)は次のようになる。
\(\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=0.9\)
\(\displaystyle \frac{a_2}{b_2}=0.99\)
\(\displaystyle \frac{a_3}{b_3}=0.999\)
つまり
\(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=0.\underbrace{99\cdots 9}_{9がn個}\)
のようになり,
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1\)
が成り立つことがわかるはずだ。

こういうことに悩んでいた人は同様にして
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}b_n =0\)かつ\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac12\)
となる例を作ってみよう。極限のイメージがつかめるのではないかな。

この記事は参考になりましたか?

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