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2点を直径の両端とする円の方程式

2点を直径の両端とする円の方程式

問題を解いていて気付いた小技

使うときはないかも。(^.^;)

2点A,Bの\(x\)座標を解とする2次方程式が
\[
x^2 +ax +b=0
\]
であり,\(y\)座標を解とする2次方程式が
\[
y^2 +cy +d=0
\]
であるとき,このA,Bを直径の両端とする円の方程式は,この方程式を辺々足して
\[x^2 +y^2 +ax +cy +b+d=0\]

解説

A\((m+p,n+q)\),B\((m-p,n-q)\)と表され,ABの中点はM\((m,n)\)となる。

A,Bを直径の両端とする円は,Mを中心としてA,Bを通るのだからその方程式は
\((x-m)^2 +(y-n)^2=p^2 +q^2 \tag{1}\)

一方,\(x=m\pm p\)を解にもつ2次方程式は
\((x-m)^2=p^2 \tag{2}\)

\(y=n\pm q\)を解にもつ2次方程式は
\((y-n)^2=q^2 \tag{3}\)

(1)は(2)と(3)を足したものである。

\(y=x^2\)と\(y=x+1\)の交点をA,Bとすると,その\(x\)座標を解とする2次方程式は
\[
x^2=x+1より x^2-x-1=0
\]

A,Bの\(y\)座標を解とする2次方程式は
\[
y=(y-1)^2より y^2 -3y+1=0
\]

よって,A,Bを直径の両端とする円の方程式は,この方程式を辺々足して
\[
x^2 +y^2 -x -3y =0
\]

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