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部分積分をするときに無駄な\(f'(x)\)を書くな

部分積分をするときに無駄な\(f'(x)\)を書くな

以前の高校の教科書は部分積分は次のように書いていた。

\(\displaystyle \int f(x)\,dx =F(x)+C\ (Cは積分定数)\)のとき,\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = \underbrace{F(x)}_{積分した}g(x)-\int F(x)\underbrace{g'(x)}_{微分した}\,dx\)・・・(☆)

(「積分した」と「微分した」は私が付けた注釈)

現在の高校の教科書は部分積分を次のように表している。

\(\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)\,dx\) ・・・(☆☆)

これは「\(f'(x)\)の部分は積分して\(f(x)\)とせよ」と言うことなので(☆)と同じ意味だし,(☆)より表現が短くなるのがメリットだ。

例えば,(☆)でも(☆☆)でも

\(\displaystyle \int e^{2x}\sin x\,dx =\underbrace{\frac{e^{2x}}2}_{積分した}\sin x -\int \frac{e^{2x}}2 \underbrace{\cos x}_{微分した}\,dx\)

のように計算する。

ところが(☆☆)の表し方を誤解して次のように無駄なことを書く受験生が多い。

\(\displaystyle \int e^{2x}\sin x\,dx =\int \color{red}{ \left( \frac{e^{2x}}2 \right)’ } \sin x\,dx =\underbrace{\frac{e^{2x}}2}_{積分した}\sin x -\int \frac{e^{2x}}2\underbrace{\cos x}_{微分した}\,dx\)

この \(\displaystyle \color{red}{\left(\frac{e^{2x}}2\right)’}\)を書いた式変形は無駄だ。

()の中の\(\displaystyle \color{red}{\frac{e^{2x}}2}\)を求めるには,\(\displaystyle e^{2x}\)を積分したのだ。\(\displaystyle \int \color{red}{ \left( \frac{e^{2x}}2 \right)’ } \sin x\,dx \)を書く必要はない。(☆☆)の形式を意味を考えずに真似しているだけだ。

やめようね。

【2018/07/08追記】

「高校の先生が
\(\displaystyle \int x\cos x\,dx =\int x\color{red}{ \left( \sin x \right)’ }\,dx =x\sin x -\int 1\cdot \sin x\,dx\)
と書けと言ってます

と二,三人の生徒から聞いた。信じられない。大学1,2年で部分積分を用いてテーラー展開やガンマ関数の計算をするときにそんな書き方をしていたら無理でしょ。どういうことだろう。

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  1. 高校の先生ですが、同感です。
    逆に最近は塾、予備校で f‘を書くように教わってきますよ。いらんと言ってます。必要ならば、端にメモでいい話ではないかなと思っています。

    • ほしのさん,こんにちは。

      いつの間にか,\(f’\)みたいのをわざわざ書く流儀が多くなってしまいました。不思議です。

      そんな書き方をしていては大学1,2年でガンマ関数とか「部分積分を何回も繰り返す」というときに困るので,書かないように指導するのですが,初めにそういうのに慣れてしまうとなかなか直してくれません。

      板書で計算を何度も見せてノートを取ってもらって,書かなくてもいいな,と自分で気付いてもらうしかないかな,と思います。

      若い講師だと「高校の数学では書くもんだ」と思い込んでいる人がいるので,原稿を書いてもらうときには校正が欠かせません。

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