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部分積分をするときに無駄な\(f'(x)\)を書くな

部分積分をするときに無駄な\(f'(x)\)を書くな

以前の高校の教科書は部分積分は次のように書いていた。

\(\displaystyle \int f(x)\,dx =F(x)+C\ (Cは積分定数)\)のとき,\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = \underbrace{F(x)}_{積分した}g(x)-\int F(x)\underbrace{g'(x)}_{微分した}\,dx\)・・・(☆)

(「積分した」と「微分した」は私が付けた注釈)

現在の高校の教科書は部分積分を次のように表している。

\(\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)\,dx\) ・・・(☆☆)

これは「\(f'(x)\)の部分は積分して\(f(x)\)とせよ」と言うことなので(☆)と同じ意味だし,(☆)より表現が短くなるのがメリットだ。

例えば,(☆)でも(☆☆)でも

\(\displaystyle \int e^{2x}\sin x\,dx =\underbrace{\frac{e^{2x}}2}_{積分した}\sin x -\int \frac{e^{2x}}2 \underbrace{\cos x}_{微分した}\,dx\)

のように計算する。

ところが(☆☆)の表し方を誤解して次のように無駄なことを書く受験生が多い。

\(\displaystyle \int e^{2x}\sin x\,dx =\int \color{red}{ \left( \frac{e^{2x}}2 \right)’ } \sin x\,dx =\underbrace{\frac{e^{2x}}2}_{積分した}\sin x -\int \frac{e^{2x}}2\underbrace{\cos x}_{微分した}\,dx\)

この \(\displaystyle \color{red}{\left(\frac{e^{2x}}2\right)’}\)を書いた式変形は無駄だ。

()の中の\(\displaystyle \color{red}{\frac{e^{2x}}2}\)を求めるには,\(\displaystyle e^{2x}\)を積分したのだ。\(\displaystyle \int \color{red}{ \left( \frac{e^{2x}}2 \right)’ } \sin x\,dx \)を書く必要はない。(☆☆)の形式を意味を考えずに真似しているだけだ。

やめようね。

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