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「確率分布と統計的な推測」補充〜確率密度関数のまとめver1.13

「確率分布と統計的な推測」補充〜確率密度関数のまとめver1.13

拙著「確率分布と統計的な推測」で扱っていない確率密度関数についてまとめたプリントを作りました。
確率密度関数のまとめ ver1.13
センター試験数学II・Bの選択問題で確率分布を選択する場合はこちらもお読み下さい。

正規分布以外の確率密度関数での「平均」は高校の数学の範囲外なのに,2017年のセンター試験数学II・Bでは,定義を問題に書いて出題するというトンデモナイ出題(高校の範囲外の内容をセンター試験で堂々と聞くとはどういうことだ?)をしてきましたから,確率密度関数から平均を求める方法を詳しく解説しました。

(「確率分布と統計的な推測」の誤植情報はこちら。)


改訂履歴

  • ver1.13. 誤植を修正。
  • ver1.12. 誤植を修正。
  • ver1.11.練習問題を追加し,誤植を修正。。

【2018/04/02】
同じ内容の補充プリントにリンクされているバナーが河合出版のトップページに付きました。
サイトに載せてくれと依頼しましたが、まさかトップページに載るとは驚きました。

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  1. はじめまして。一浪生のものですが、先生の御著書に加えて教科書で補完してこの一年間取り組み、マーク模試やセンタープレで2Bが速く終わらせられるようになり、数列やベクトルの難問を避けたり、他分野の見直しにたっぷり時間をさけるようになったり(これで8点失点を防げたこともありました)と、解くのが遅い自分が満点近くで安定するようになったのは紛れもなく先生のお陰です。
    更に今回のプリントで確率密度関数の練習題も充実し、本番でもぜひ選択するつもりです。ありがとうございます。

    これはひとつ気になったことで質問なのですが、確率密度関数の平均が高校範囲外というのはどこによる情報でしょうか?
    当方の手元にある教科書「詳説数学B」(啓林館)には発展扱いでなく、通常の文脈で確率密度関数の平均と分散が登場していたのですが、他社の教科書や指導要領には記載がないのでしょうか?

    • Dixieさん,初めまして。確率統計をマスターしましたか。頼もしい。(^^)

      >他社の教科書や指導要領には記載がないのでしょうか?

      啓林館が本文に載せているとは知りませんでした。攻めてるなぁ。
      一般の確率密度関数は指導要領にはその扱いを明記していません。
      「標準正規分布の分布曲線が確率密度関数の典型例」というような書き方です。
      ましてや,一般の確率密度関数の場合の「平均」や「分散」は全く記載がありませんから高校数学の範囲外です。

      例えば数研は一番難しい教科書(啓林館の「詳説」に相当)では,「発展」として一般の確率密度関数の平均と分散を以前は扱っていて,今年のものでは平均のみ扱ってます。ですから,確認していませんが,おそらくその下のレベルの教科書では全く扱っていないでしょう。

      教科書の範囲外ですから2017年のセンター試験では問題の冒頭で,確率密度関数の場合の平均の定義を書いたのだと思います。

      2017年のあの問題は本当に異例で,追試の方がはるかに簡単で教育的な問題でした。

      センター試験まで残りわずかですが,頑張ってください!

      • ご返信ありがとうございます。
        教科書が対象者に合わせて、説明や問の難度が違う種類を出版していることは耳に挟んでおりましたが、地歴ならまだしも、数学でも本文内容で取り扱う公式に差異があるのには驚きました。新課程分野ゆえでしょうか。
        件の教科書でもセクションの最後に5行で述べられているのみで、練習問題も何もないので補充プリントがとても有為なものであることには変わりありません。

        生意気な質問ながら、激励まで頂いて恐縮です。頑張って来ます!

        • >件の教科書でもセクションの最後に5行で述べられているのみで、練習問題も何もない

          う〜む,ひどいな。何の役にも立たない。(^_^;)
          それなら私のプリントが役に立ちますね。年内にアップできてよかった。

          >頑張って来ます!

          ファイト!

  2. はじめまして。浪人して医学部を目指しているものです。僕はベクトルがどうしても時間内に解き終わることが出来ないため、先生の御著書と教科書を読み模試の問題集を解いて時間内に目標点に到達できるようになってきました。先生の本のおかげです。ありがとうございます。
    ここで質問なのですが、2017年には予想外の問題が出題されました。このように確立分布を選択するということは昨年の問題のように模試や御著書にのっていないような問題が出題される可能性のあるかなりハイリスクな選択なのでしょうか。とても不安なので先生のご意見をおうかがいしたいです。

    • Plusさん、こんにちは。
      確率分布は昨年のレベルが上限で,あれ以上難しいものは出せないと思います。
      また,内容も昨年の「教科書で扱わないはずの『確率密度関数を用いた平均』を,定義を与えて計算させる」がギリギリだと思います。

      ですから,確率分布を選択するのはよい方針だと思います。(^^)
      ベクトルや数列がどうしても苦手だという生徒には,確率密度関数について教えた上で,私も勧めています。

      もしかしたら,確率密度関数を用いた分散の定義を与えて計算させるかも知れませんが,それはただの積分の計算です。
      すなわち,\(X\quad (a\leq X \leq b)\)の確率密度関数を\(f(x)\)とし,\(X\)の平均を\(\displaystyle E(X)=m=\int_a^b xf(x)\,dx\)とすると(これは昨年の出題にあった),\(X\)の分散\(V(X)\)は
      \(\displaystyle V(X)=\int_a^b (x-m)^2 f(x)\,dx\)
      と定めます。ただの積分ですね。(^^)

      この場合、普通の「取り得る値が有限個の確率変数」の場合と同様に
      \(\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\)
      が成り立ち,これは
      \(\displaystyle V(X)=\int_a^b \color{red}{x^2}f(x)\,dx-\{E(X)\}^2\)
      によって計算します。


      頑張ってください!

  3. ありがとうございます!不安がやわらぎました。確立密度関数の分散もしっかり理解して試験に臨みたいと思います。
    頑張ります^_^

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