saitei.net

きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか

はじめに

受験生や予備校関係者に誤解が多い「ロピタルの定理」について解説する。
私の考えは次の通りだ。

  • ロピタルの定理は知っていても入試では実質的に役に立たない。
  • 生半可に知っているとかえって害になる可能性があるので積極的に教えるつもりはない。
  • それでも知りたいのなら教えるよ。

「ロピタル」は入試で得にならない

「入試で『ロピタルの定理』を使ってよいですか?」
と言う質問を時々受ける。

私は次のように答える。

  1. ロピタルで簡単になる入試問題はほとんどない。数学の教官の立場で考えてみれば「ロピタルを知っているかどうかで極端に作業量が変わる問題は出したくない」と思うに決まっているでしょ。「君がロピタルに気づいて数学者が気づかない」は1000000000%あり得ないよ。
  2. だから,ロピタルで楽になる問題は私大入試の小問集合(簡単な問題で答だけ書けばよいタイプ)でたまに見かける程度。国公立の2次試験では使って得する機会が極めて少ない。
  3. 以上から「使ってもいいですか?」と言う質問自体がナンセンス。
  4. どうしても使わないと求められないと言うときは,減点覚悟で使いなさい。白紙答案を出すよりマシ。

以前東大の問題で\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^x}=0\)が解くのに必要なのに,問題文に「これを使ってもよい」とのただし書きがないことがあった。ノーヒントで証明するのは東大受験者でも大変だからロピタルで示すしかないな,生徒にロピタルを教えるべきだな・・・と思っていたら,後日非公式な情報で「その程度は明らかにしてよいらしいよ」と知らされた。だから,ロピタルで得することはやはり無いと思う。

そもそも「ロピタル」を正確に知らない受験関係者が多い

「ロピタルの定理」とは次の命題Aだと思っている受験生や予備校講師が多いと思う。


【命題A】
\(f(x)\)と\(g(x)\)は微分可能とし
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=
\lim_{x\to a}g(x)=0
\)
とするとき(\(a\)は定数)
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\)


しかし,これは「ロピタルの定理」ではない。それどころか,そもそも成り立たない命題なのだ。
【命題Aの反例】
\(\displaystyle f(x)=x^2\sin \frac1x,\quad g(x)=x,\quad a=0\)とする。
\(f(x)\)と\(g(x)\)は微分可能であり,
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0\)
を満たす。
(注.\(-x^2 \leq f(x) \leq x^2\)となり,\(x\to 0\)とすると左辺も右辺も0に収束するので,はさみうちの原理から\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0\)と分かる。)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}x\sin
\frac1x=0\)
となる。
(注.\(\displaystyle -|x| \leq x\sin \frac1x \leq |x|\)となり,\(x\to 0\)とすると左辺も右辺も0に収束するので,はさみうちの原理から\(\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sin \frac1x =0\)と分かる。)
しかし
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to
0}\frac{2x\sin \frac1x-\cos \frac1x}{1}\)
となり,これは発散する。
(注.\(\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sin \frac1x =0\)であるが,\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\cos \frac1x\)が発散してしまう。)

よって
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\neq \lim_{x\to
0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
となる。


上記の「ロピタルの定理ではない偽の命題」のどこを修正すれば「ロピタルの定理」になるのか,それが分からなければロピタルを入試で使うべきではないよ。

某有名参考書の1990年頃の版のコピー

命題Aを「ロピタル」と誤って紹介する参考書・問題集は多い。例えば次に見せるのは、高校で採用されることも多い某有名参考書の1990年頃の版のコピーだ。実は数研の赤チャート。当時はチャートシリーズで一番難しいのは「赤」だった
ss 2016-07-22 10.42.28
ここにある(A)がまさに命題Aだ。当然間違っている。
さらに(B)も間違っている。
【(B)の反例】
\(\displaystyle f(x)=\frac1 x +\sin \frac{1}{x}\),\(\displaystyle g(x)=\frac1{x}\)、\(a=0\)
とする。
\begin{align*}
|f(x)| &=\Big| \frac1 x +\sin \frac{1}{x} \Big|\\
&\geq \Big| \frac1 x \Big| – \Big| \sin \frac{1}{x} \Big|\\
&\geq \Big| \frac1 x \Big| -1\\
& \longrightarrow \infty \quad (x\to 0)
\end{align*}
より
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}|f(x)|=\infty\)

また
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}|g(x)|=\lim_{x\to 0}\Big|\frac1x\Big|=\infty\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\left(1+x\sin\frac{1}{x}\right)=1\)
である。

しかし
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
&=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac1{x^2}+\cos \frac1x \times
\left(-\frac1{x^2}\right)}{-\frac1{x^2}}\\
&=\lim_{x\to 0}\Big(1+\underbrace{\cos \frac1x}_{発散}\Big)
\end{align*}
となり,これは発散する。

つまり,
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\ne \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
となる。


あんな有名な参考書でも間違いを載せていたのだ。(注.現在は修正され,正しく書かれている。)
未だに間違ったままを書いている参考書や問題集があるのは仕方ないかも知れないが,嘆かわしいことだ。
ただ,上記の「(B)の証明」と称するもの((A)の次の行から(B)の直前までの部分)をよく見ると「ここが怪しい」と言う部分に気づくはずだ。気づかなければロピタルを使うのはやめた方が良いと思う。

ロピタルの定理とはどういうものか

ロピタルの定理がどうしても知りたいと言う人は,以前某雑誌に私が書いた原稿があるので読んで下さい。

追記。「ロピタル」についてのひどいサイト

アクセスログを見ると「ロピタルの定理」を検索してここにたどり着く人が多いようだ。検索結果に表示される他のサイトを見ると・・・頭が痛いのが色々ある。
感想を書くけど,良い子は見に行ってはいけません。何か悪いものが伝染しますから。

  • 高校数学の美しい物語
    このサイトによると「ロピタルの定理」とは,
    「\(\displaystyle \lim_{x\to a}\)が不定形で適当な条件を満たせば,\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)」
    だって。「適当な条件を満たせば」ってなんだよ。ひどいな。(^_^;

    筆者は恐らく証明を理解していないから,こういう雑な書き方になっている。

    「適当な条件」の部分を厳密に書くとめんどくさいので高校の先生からは嫌われている公式です。
    とも書いてあるが,高校の先生が嫌う理由は「極限の基本公式や,極限を求める基本的な計算方法が身につかないから」だと思う(次の項を参照)。「厳密に書くとめんどくさい」なんてバカな理由ではない。高校の先生に聞いてみな。

    その下の方を読むと,ロピタルの定理の前提条件の1つが「\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)が収束するとき」だと言うことを明記せずに「適当な条件を満たせば」と誤魔化しているために,回りくどい書き方をしている。

    ロピタルの前提条件は「極限を扱う。微分を用いる」というための自然な条件だ。「適当な条件」なんて誤魔化すのは理解するのに却って遠回りだ・・・というのを教えてくれる反面教師のような記事だと思う。

  • 受験の月

    ここはロピタルの定理はちゃんと書いているし,使い方に注意を促しているのはよいのだが,例題がひどい

    \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}\)を求めるのにロピタルの定理を使っている。この極限が1であることは極限の基本公式だ。それを用いて\((e^x)’=e^x\)を導くのだ。そこに注意してこのサイトのロピタルの使い方を見てみよう。

    \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\color{red}{e^x-1}}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\color{red}{e^x}}{1}=1\)

    赤字の部分の変形に\((e^x)’=e^x\)を使っているよな。ひどいな。この導関数の公式はどうやって導いたんだよ。考えてないだろ,おまえ。(^_^;

    採点者はロピタルのこういう使い方を見ると,その瞬間「コイツは分かってない」で0点だ。下手に教えるとこういうことをやる生徒が現れるから,ロピタルを高校生や浪人生に教えることに否定的な教師が多いのだ。

    その他にもこのサイトはほんとにひどい。

  • 大学への物理 ~その対策に関する一考察
    このサイトはロピタルの定理ではないものをロピタルの定理と称して,しかも“証明”までしている。ひどいな。

    実際,上で命題Aの反例としてあげた\(\displaystyle f(x)=x^2\sin \frac1x,\quad g(x)=x,\quad a=0\)について,\(f(0)=0\)と定めれば(\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0\)であったから,自然な設定だろう)とすれば,大学への物理 ~その対策に関する一考察が主張する“ロピタル”(実際はロピタルではない)の前提条件を満たしている。

    しかし,もちろん\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)とはならない。このサイトの“証明”の間違いを探してみるのが面白いかも。

ロピタルの定理なんて,大学1年の初めの方の内容だ。解析のテキストを見れば証明が必ず書いてあるはずだ。それをチェックすることすらしないで受験生に読ませるような記事を書いてしまうとは,勘弁して欲しいよ。

目の前にいる教師の言うことよりこういうwebの記事を信用する生徒が多いのが不思議だよ。

この記事は参考になりましたか?

8
コメント10件
URL :
TRACKBACK URL :

Comments & Trackbacks

  • コメント ( 6 )
  • トラックバック ( 0 )
  1. ロピタルの定理

    ロピタルの定理が使える条件は
    ∞/∞ 0/0と言った不定形の時ですが
    -∞/∞となるときはロピタルの定理は使えないのでしょうか?

    • ロピタルの定理

      例えばlim[x→0]xlogx
      =lim[x→0]logx/(1/x)とすると
      lim[x→0]logx=-∞,lim[x→0]1/x=∞
      lim[x→0](1/x)’≠0であり
      lim[x→0](1/x)/(-1/x^2)
      =lim[x→0](-x)=0
      ロピタルの定理より
      lim[x→0]xlogx=0
      のように出来るのかということです

      • 正しいですよ。

        • ロピタルの定理

          でわロピタルの定理は不定形が-∞/∞のときにも成り立つということですか?
          何故そうなるんでしょう…
          例えば今回は-∞/∞でも使えると仮定して解いていった結果0に収束しました
          0だから符号はあまり気になりませんが
          最後の値が1になったりしたら∞/∞でしか使えない場合富豪が逆になり-1に収束する

          みたいにはならないのでしょうか

          • プリントをダウンロードして読みましょう。
            証明を理解しないで議論するのはむだです。

  2. 私は数学が出来ない への返信

    議論はやめましょうという私の言葉を無視し,さらにデタラメを書き込むのは看過できない。最後の返答を書き,あなたのコメントはすべて削除します。言いたいことはご自分のサイトでお書きなさい。

    >連続関数の定義は、数学科向けの本(杉浦光夫、笠原皓司、加藤十吉など)と一般向けの本とでは違います。

    デタラメです。よくこんな嘘が思いつけるなぁ。

    ここに挙がった3名の先生の著書に限らず,教養部向けの解析の教科書(連続関数の定義と言っているので,そうでしょう)はどれも理系生を主な対象にするものであり,数学科の学生だけを対象にするものではない。

    あなたのコメントは高校生などの初学者に見せるのは有害なデタラメだ。位相空間を制限する意味を全く分かっていない。

    あなたが挙げている例はまともな大学なら理系の1,2年生対象の「位相入門」程度の講義で扱うようなものだ。数学科のレベルではないし,あなたは何故そんな位相を考えるのかを分かっていない。「完備でない距離空間では極限が何もわからなくて困る(当たり前)。中間値の定理さえ成り立たない世界だから,ロピタルもくそもない」という例だ。数学科でなくても解析を扱う理系のまともな大学生なら常識だろう。

    こんな簡単な位相を扱うのが数学科レベルだと思っているとは,ものを知らないにも程がある。知らなければもう少し謙虚になるべきだ。あなたは大学1年の5月レベルの解析を理解できていない。「若い人にパネルディスカッションを見せる」などと言うレベルには全く達していない。いい加減にしなさい。

    色々読み散らかした本の断片をつなぎ合わせて独りよがりの解釈を展開するのは,数学が伸びない生徒にありがちなパターンだが、あなたはまさにそれだ。

    >九州大学の野村先生の文章は、雑誌「数学セミナー」に掲載されたものです。ということは、数学を専門とする多くの人たちが読んだということです。それで訂正されていないのですから、正しいに決まっています。

    デタラメです。数セミに載るかどうかは正しいかどうかとは関係ありません。
    数セミは学術誌ではない。

    今日一緒になった知人3名は,みな旧帝大の数学科の大学院を出ていますが,野村さんの記事を読んで全員の反応が
    「なんだ,これ???」
    でした。うち1名は現役の数学者です。

    \(\cos x\)が0になるケースを無視して約分してしまって議論を進めることを“正当化”する理由が「九大の先生と東北大の先生がそう書いている」ですか。この程度のことが自分の頭で判断できませんか?

    私のような大学院をドロップアウトした者が言うのもおこがましいが,数学は色々な考え方があるのは当然だ。どの立場を取るのかを決めるのは

    • ・何がしたいのか
    • ・その立場だとどのような成果が得られるのか

    などだ。

    通常の実関数を扱うには実数全体で定められた距離空間を扱うのが当然で,いろいろな関数をまとめて扱うことが出来るから議論がしやすい。私はこの立場だし,圧倒的に多数派だ。特に「いろいろな関数をまとめて扱う」は重要で,「性質が似たものの関係・構造を調べる」というのが大学の数学の基本的な考え方だ。

    野村さんやあなたの主張は「関数ごとに距離空間を変える」というもので,どうしてもそうしたければそうすればいいけど,それで何が得なのか分からない。その考え方で何か分かりやすくなると言うことが全く思いつかない。新たな距離空間でどの定理が成り立つのかを一々吟味しないと議論が出来ないのだぞ,面倒くさい。

    野村さんが挙げた例はロピタルの定理が適用できないものだが,その理由は

    • ・私と私の知人は,\(x\)をどんなに大きくしても\(g'(x)\neq 0\)を満たさない場合が生じるので\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)が収束しないと考え,ロピタルの定理を適用できないと判断する。
    • ・野村さんやあなたは\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)は収束すると考えるが,\(x\)をどんなに大きくしても\(g'(x)\neq 0\)を満たさない場合が生じるのでロピタルの定理を適用できないと判断する。

    と分かれている。似ているけど\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)が収束かどうかの判断が違う。

    私は「後者の考え方はどうしてもそうしたければ止めはしないけど色々面倒だよ」と思うが,あなたは「後者のみが正しいのであり,前者は間違っている」と主張する。

    あなたがそこまで強硬なのは単なる勉強不足と無駄なプライドのせいだと思うが(だからオレは議論したくないんだ),野村さんがあの\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)を収束と判断したくなる動機が分からない。

    少なくとも野村さんの立場だけが正しいと言うものでは全くない。

    野村さんは初学者向けのコラムでなぜこんな確実に誤解されることを書いたのかな?こういう■■を産むじゃないか。
    野村さんは\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{\cos x}=1\)としてしまうバカな受験生を九大に合格させたいのか?この極限は発散と正しく判断できる学生の方が伸びるよ。

    \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{\cos x}=1\)としてしまう粗忽な奴は,気をつけないと証明の途中で「\(\displaystyle \frac{0}{0}=1\)」に相当することをやりそうで怖いぞ。(^_^;)

    (注。\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}u(x)=\alpha\)とは,普通は「\(\displaystyle \forall \epsilon >0. \exists r. \forall x>r. |u(x) -\alpha | < \epsilon\)」のことだ。\(\displaystyle u(x)=\frac{\cos x}{\cos x}\),\(\alpha =1\)としてみれば,\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{\cos x}=1\)が誤っていることが分かる。「\(\forall x>r\)」に注目せよ。)


    数学を学び直していると言い「私は数学が出来ない」と称しながらあれこれ半可通の講釈をたれるとは,私には理解できない人だ。プライドだけ高くて数学が出来ないのが自分で許せないのだろうが,いい年をしているのだからそう言うのは自分で何とかすべきです。(私が彼のコメントなどを削除したので第三者には意味不明でしょうが,彼はそういう人です。)

    おっさんの数学コンプレックスなんかに誰も興味は無いよ。webに書いて反応をうかがう前にちゃんとした本を一冊熟読しろ。

    色々な人が見に来るこのBLOGに便乗して自分のサイトに誘導し,思い込みを広めようとする姿勢は迷惑だ。やめろ。

    最後に念を押します。
    あなたのコメントはすべて削除します。言いたいことはご自分のサイトでお書きなさい。

Leave a reply

*
*
* (公開されません)

CAPTCHA


Return Top