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「sinθ/θ→1」の高校での証明は循環論法ではない

「sinθ/θ→1」の高校での証明は循環論法ではない

はじめに

角\(\theta\)を弧度法により定めるとき,
\(\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1\qquad \)・・・(★)
が成り立つことは数IIIの重要な公式だ。
(★)が成り立つことが弧度法を導入する理由であるとしてよいほどだ。

しかし,「(★)の高校の教科書での証明が循環論法になっている」という批判がある。

つまり,(★)そのものを根拠にして(★)を証明しているというのだ。

本当にそんなことになっていたら大問題だが(教科書が間違っている!?),この記事ではその批判は的外れであり,高校の教科書での証明は正当なものであることを解説する。

内容をまとめておくと

  1. 循環論法派の言い分は「(★)の証明には円の面積を定積分により定める必要があり,その定積分には(★)が必要。つまり,循環論法」
  2. しかし,円の面積を定めるには定積分は必要ない。小学校でも習うではないか。
  3. 小学校での円の面積の導き方が気に入らなければ,別の方法で扇形の面積を定め,弧度法の定義を変えてしまえばよい。

最後の方法が一番明解だと私は思う。

高校の教科書での(★)の証明

まずは高校の教科書での(★)の証明を確認しよう。

\(\displaystyle \theta \to 0\)とするので,\(\displaystyle -\frac{\pi}2<\theta <\frac{\pi}2\)としてよい。

まず\(\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}2\)とする。

点Oを中心とし半径が1の円\(K\)の周上に\(\angle \mbox{AOB}=\theta\)となる点A,Bを取る。Aでの\(K\)の接線と直線OBの交点をCとし,Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとする。

\(\displaystyle \mbox{BH}=\sin \theta\),\(\displaystyle \mbox{AC}=\tan \theta\)
となるから
\(\displaystyle \triangle \mbox{OAB}=\frac12 \sin\theta\),\(\displaystyle \triangle \mbox{OAC}=\frac12 \tan\theta\)

また,扇形OABの面積は\(\displaystyle \frac12 \theta\) ・・・(1)

面積を比べると
\(\displaystyle \triangle \mbox{OAB}<\mbox{扇形OAB}<\triangle \mbox{OAC}\) ・・・(2)
となるから
\(\displaystyle \frac12 \sin \theta <\frac12 \theta <\frac12 \tan \theta\)
\(\displaystyle \sin \theta <\theta <\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle \cos\theta <\frac{\sin \theta}{\theta}<1\)  ・・・(3)

\(\displaystyle \theta \to +0\)とすると(左辺)\(\displaystyle \to 1\)となるから,はさみうちの原理より
\(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\theta}\to 1\)

\(-\frac{\pi}2 <\theta <0\)の場合は,\(\theta \to -0\)のとき\(-\theta \to +0\)となるから同様に

\(\displaystyle \frac{\sin \theta}{\theta}=\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}\to 1\)

以上より(★)が成り立つ。 (証明終)

循環論法になっているというのは(1)の部分

この証明が循環論法になっているというのは(1)を使っているところだろう。

つまり,半径が1で中心角が\(\theta\)ラジアンの扇形の面積が\(\displaystyle \frac12\theta\)という(1)を示すには,「半径が1の円の面積が\(\displaystyle \pi  \)」が証明に必要であり,それは次のように(★)を元にしているというのだろう。

半径が1の円の面積がπであることの,循環論法派が想定しているはずの証明

(★)から\((\sin \theta)’=\cos \theta\)が示される。(必ず数IIIの教科書に書いてある。確認せよ。)

したがって,\(\displaystyle \int \cos \theta =\sin \theta +C\)となり,
\(\displaystyle \int \cos 2\theta =\frac12\sin 2\theta +C\)となる。

半径が1の円の面積を\(S\)とすると,四分円の面積は\(\displaystyle \frac14 S\)であり
\(\displaystyle \frac14 S =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx \)

この積分は\(x=\sin \theta\)と置換して
\(\displaystyle \frac14 S =\int_{0}^{\frac{\pi}2} \cos^2 \theta\,d\theta \)
\(\displaystyle \phantom{\frac14 S} =\int_{0}^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2\theta}2 \theta\,d\theta \)
\(\displaystyle \phantom{\frac14 S} =\Big[\frac12 \theta +\frac14 \sin 2\theta \Big]_{0}^{\frac{\pi}2}=\frac{\pi}4\)

よって,\(S=\pi\) (証明終)

循環論法派の主張はたぶんこんなものだろう

循環論法派は恐らく次のように考えているのだろう。


半径が1で中心角が\(\theta\)の扇形の面積は,円と中心角を比較して
\(\displaystyle  \frac{\theta}{2\pi}\pi=\frac12 \theta\)

これが(1)だ。

(2)から(3)を導くのに(1)が使われて,(★)を証明している。

しかし(1)は元をたどれば(★)から証明されたのだ。

したがって,(★)の証明は循環論法になってしまっている。(終)

円の面積は定積分を使わないでも導けるから,循環論法ではない

以上のような「循環論法派」の主張の根本は,「(★)の証明には円の面積を定積分により定めることが必要であり,そのためには(★)が必要」と言うことだろう。

しかし,円の面積を定積分から導くのは「普通はそうしているからわかりやすい」と言うだけのことだ。定積分を用いないでも円の面積を定めることができるから,循環論法ではないのだ。定積分を使わないで円や扇形の面積を定める方法を以下で確認しよう。

円の面積を定める小学校での方法

小学校で円の面積を導くときには,円を放射状に細かく切り分けてから平行四辺形のように組み直して,円の面積が\(\displaystyle (半径)\times \frac{(円周の長さ)}2\qquad \)となることを次の図のように示している。(細かく切り分けていけるほど右下の平行四辺形のような図形が長方形に近づくとわかる)

半径を\(r\),円周を\(2\pi r\)と表せば(これが円周率\(\pi\)の定義だ)
\(\displaystyle (半径)\times \frac{(円周の長さ)}2\quad = r\times \frac{2\pi r}2 =\pi r^2\)
となるわけだ。

この方法は厳密でないという意見があるのは承知しているが,そもそも高校の微積は厳密性は余り要求していない。例えば平均値の定理とか区分求積法の「証明」はあの程度のゆるゆるの論法で良しとしているでしょ。円の面積だけ厳しくしないでもいいと思うよ。

扇形の面積を極限により定め,弧度法の定義を修正するのが一番明解かな

「円を細かく切り分けて組み直して平行四辺形みたいにする」というのが厳密で無いと思うのなら,次のようにして,円の面積の公式を用いないで扇形の面積を直接定めてしまおう。

まず,扇形を小さい正方形で分割する。

扇形に完全に含まれる正方形全体(図の赤い部分)の面積を\(T\)とする。

正方形を小さくしていけば\(T\)は増加し(次図),無限大にはならないから何らかの値に収束するはずだ。その値が扇形の面積である。

「扇形の面積をそんな定め方をしたら,半径が1で中心角が\(\theta\)の扇形の面積が\(\displaystyle \frac12 \theta\)という(1)が導けないではないか」と思うかも知れないが,(1)が成り立つように弧度法の定義を変えてしまえばよい。つまり,

「半径1の扇形の面積が\(\displaystyle \frac12 \theta\)のとき,この扇形の中心角を\(\theta\)と定める」・・・(4)

とすればよいのだ。「そんな・・・」と思うかも知れないが,数学の定義なんて都合のよいように定めるものだと思うよ。「(★)の証明が循環論法になっている」なんて恐ろしい状況よりずっとマシだろう。(^^)

扇形の面積を極限で定めるのがわかりにくいなら弧度法の定義だけ変えてもよい

上記のような極限で扇形の面積を定めるのがわかりにくいと言うなら,「扇形には面積が定まる」と言うことだけ認めてくれればよい。面積が定まるけど詳しくは分からない,と考えてくれればよい。さすがにこの立場を否定する人はいないだろう。

そして,弧度法の定義を(4)のように変更しよう

これで,高校の教科書での(★)の証明をもう一度見て欲しい。弧度法の新たな定義から(1)が直ちにわかるから(アタリマエ!),もう循環論法とか言われることはない。\(^o^)/

もしも高校生が「(★)の証明は循環論法じゃないですか?」と聞いてきたら(私はそんな経験は無い),このように教えれば納得してくれるのではないかな。

今回webでこの件に関してどういう意見があるか検索してみたが,弧度法の定義をこのように修正すればよいという記事はほとんど無かった。不思議だ。

【結論】数学の教科書があやしいはずがない

「円の面積の公式は既に知っている。小学校で定積分を使わないで導いている。そこから扇形の面積も求められる」を前提に高校の教科書は(★)を証明しているので,それで正しい。高校生は安心して勉強して下さい。

循環論法派は「面積は積分で求めるのが唯一の方法だ」と思い込んで,それ以外の定め方を考えないせいで混乱しているだけだと思う。

おまけ〜循環論法派への疑問

「(★)の証明が循環論法」という懸念を持つのは,高校生より理系の大学生とか理系の社会人が多い気がする。(高校生は教科書に対してそんな疑問は抱かないもんな。)

そうであれば大学でルベーグ積分を学んでいることが多いはずで

  1. まずは面積(とか長さ)とは何かを定め
  2. それを用いて積分を定める

というルベーグ積分の考え方を知っているでしょ。それなら,「円の面積を定めるのに積分が必要」と思い込むのはおかしくないかな?

参考文献

  1. http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/sinxlim1/node1.html ・・・丁寧に書かれていて読みやすい。(★)を使う代わりに,BH<弧AB<AC+CBを用いる方法を解説している。弧AB<AC+CBはうまいなぁ
  2. 三角関数の様々な定義 ・・・上記の記事が引用している。弧AB上の点を順に結ぶ折れ線の長さLについてL<AH+HBが成り立ち,Lの極限が弧ABであるからBH<弧AB<AH+HBとなる。これを(★)の代わりに使えばよいと。なるほど。
  3. 天むす名古屋さんと黒木玄さんのtweet  ・・・循環論法説の起源らしい文献の紹介もあり,得るものが多い。
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  1. とても面白い記事でした。勉強になります。
    実は当該分野を履修したとき、ちょうど「これって循環論法なんじゃ?」という淡い疑いを抱いたのですが、当時は騙し騙し先に進んでしまい、そんな疑問を抱いていたことも忘れてしまっていたので、この記事には感動を覚えました。

    ところで、先生のKindleタイトルの中に名前だけ登場していた「さよなら,バームクーヘン~大学入試でグリーンの定理を使おう」の発刊のご予定はいかがでしょうか。
    催促するようで恐縮ですが、待ち遠しい限りです。

    • Azel Aさん,こんにちは。

      >実は当該分野を履修したとき、ちょうど「これって循環論法なんじゃ?」という淡い疑いを抱いたのですが、

      おーっと,そうでしたか。それはもやもやしたまま勉強を進めることになってしまいましたね。
      あれが循環論法だと言ってしまう先生もいますしね。(なんてことだ。。。)

      そういう疑問を生徒から聞いたことは私はないのですが,潜在的にいるのであれば授業でも解説した方がいいのかな。

      >「さよなら,バームクーヘン~大学入試でグリーンの定理を使おう」の発刊のご予定は

      おーっと。(^_^;)
      7月末刊行予定にします。お待ち下さい。

      • > そういう疑問を生徒から聞いたことは私はないのですが,潜在的にいるのであれば授業でも解説した方がいいのかな。

        私の受けた授業では、三角関数の極限の次に一気に三角関数の微分公式の導出まで飛んで、丁寧にも(?)「円の面積公式はこれを使って積分して導出するんですよ~」という説明まで行っていたので、こういう疑問を抱いた者は私以外にも多かったと思います。

        逆に言えば、普通に教科書の順で進めていれば私たち生徒はこんなことは思いもしないでしょうね笑

        > 7月末刊行予定にします。お待ち下さい。

        急かすようで申し訳ありませんでした、楽しみにしています。

        • >丁寧にも(?)「円の面積公式はこれを使って積分して導出するんですよ~」という説明まで行っていたので、

          誤解を招く説明だなぁ。(^_^;;;;;;;;
          せめて「円の面積公式の再確認が出来る」ぐらいの表現にしておけばよいのに。

          同じような疑問を持っている友人にはこの記事をお伝えください。

  2. はじめまして。

    包絡線の教材を購入し先生のファンになりました鈴木と申します。

    教材内のp64について、ずっと考えておりましたがわからず質問をさせていただきたいのですがよろしいでしょうか。

    包絡線アプローチで双曲線を導き重解条件を出したまでは良かったのですが、p64の図では双曲線がy>0のゾーンにだけ書かれていました。p63からの論証では双曲線の存在領域が第一象限と第二象限に限られる制約はないのではないかと思いました…

    また、双曲線に接しながら二次関数が移動すると考える包絡線アプローチでは「論述として不十分である」と言及されていますが、ここもフルパワーで考えてみたのですがわかりませんでした…メールでも大歓迎ですので教えていただきたいです!

    お忙しいところ、申し訳ございません。

    • 鈴木さん,こんにちは。(^^)

      p64の図では双曲線がy>0のゾーンにだけ書かれていました。p63からの論証では双曲線の存在領域が第一象限と第二象限に限られる制約はないのではないかと思いました…

      双曲線\(K\)は全体を描いてもいいですが,\(C\)と接するのは\(y>0\)の部分ですね。接点の\(y\)座標が\(\displaystyle y=\frac{1}{2a}>0\)ですから。

      つまり,\(C\)の通過領域の境界線として現れるのは,\(K\)の\(y>0\)の部分です。

      双曲線に接しながら二次関数が移動すると考える包絡線アプローチでは「論述として不十分である」と言及されていますが、ここもフルパワーで考えてみたのですがわかりませんでした…

      \(C\)の通過領域が「\(K\)の上側と\(-1< x< 1\)の範囲に含まれる」と言うことは包絡線の議論で分かりますが,「\(K\)の上側と\(-1< x<1\)の範囲の全体」になることは,包絡線の議論だけでは分かりません。

      例えば,点(0.999999999999999999,-10000000000000000000000000000)を通る\(C\)が存在するかは,包絡線の議論では分かりません・・・と採点する数学者は考えると思いますよ。


      通過領域の問題は,ほとんどの参考書がいきなり「パラメーターの存在条件」とか「ファクシミリの原理」から解説していますが,私はまずは包絡線で分かるものを教えて「図形の動き方」を分かってもらうべきだと思います。それで通じない問題(まさに本問=2015東大)に遭遇してこそ,「パラメーターの存在条件」の威力が分かると言うものでしょう。


      いよいよ夏休みです。しっかり勉強してください!(^^)

      • 長谷川 先生

        早速のご返信ありがとうございます!!

        なるほど!接点の情報を見逃しておりました(>_0に限定されるのですね!!

        わたくしは、イメージや着眼点を重視して問題を解くタイプなのですが、おっしゃる通り巷の参考書は前振りなく解答を紹介して終わり!というのがほとんどで、伸びた感がいつもありませんでした…

        先生の教材の素晴らしいところは、思考プロセスが潤沢に示されていることですね!!先生、Amazonさんで売られているもの以外には何かお持ちではございませんでしょうか…よろしければメールアドレス宛でも大歓迎ですのでご連絡いただけますと幸いです…

        なお、本問で包絡線を用いるのが論証として不十分というのがまだしっくりきません(>_<)

        また、偏微分のやり方もご紹介されていましたが、それを活用すれば包絡線解法に敵なしのような気がするのですが…

        • なお、本問で包絡線を用いるのが論証として不十分というのがまだしっくりきません(>_< )

          あの問題で包絡線から答の図が見えるなら,それでいいと思いますよ。(^^)
          出来の悪い問題ですから,正解の図があれば十分評価してくれると思います。

          • 早速にありがとうございます!!

            先生が仰ろうとしていることがようやくわかりました!放物線に放物線を滑らせているので不確定要素があるということですね!

            ルンバが部屋の隅のホコリを取れない…みたいな…

            先生、この包絡線アプローチなのですが、青い斜線の部分はどのように求めたらよいんでしょうか。

            なお、先生の教材がアップロードされている旧サイトはございますでしょうか。当方、静岡なのですが、先生のエレガントな着想を学べる教材をもっと読んでみたいです!

  3. 鈴木君へ。

    >先生、この包絡線アプローチなのですが、青い斜線の部分はどのように求めたらよいんでしょうか。

    それは無理だから,パラメーターの存在条件を使いましょう。
    解法は適材適所です。通過領域の問題を包絡線だけで済まそうというのは勧めません。
    「包絡線でガッツポーズ」で紹介したように東大が2014年に包絡線ですぐ解ける通過領域を出題し,翌年は包絡線が役に立たない通過領域を出したのです。
    「この問題は包絡線ではダメなんだな」
    と理解しましょう。それが出題者の意図です。

    >なお、先生の教材がアップロードされている旧サイトはございますでしょうか。

    私が取りまとめをした「2018年版入試攻略数学問題集」(河合出版)がまもなく書店に並びます。(現在配送中のはずです。)
    今年の早稲田の問題で包絡線が威力を発揮する問題も収録していますから,参考にしてみて下さい。

    • ご返信ありがとうございます!

      書店に早速注文をして参りました^_^

      先生、とてもしつこくて申し訳ないのですが、第三第四象限のゾーンについては包絡線アプローチのどこかの条件に注目することで求めることはできないのでしょうか…

      包絡線アプローチで解かれた方がいらっしゃるとうかがったことがあり、ずっともやもやしております….たびたび申し訳ございません…

      • そんな人がいるのかなぁ。。。(^^;;

        • 先生、先程発注いたしました2018年版入試攻略数学問題集なのですが、似たものに262シリーズもあるようでした…わたくしは東京大学一本で受験を考えておりますが、どちらの方がベターなのでしょうか…また、効果的な使い方があればぜひ教えていただきたいです!

          また、先生の確率分布の本、改訂版が出されるそうなのですが、いつ頃出されるのでしょうか…学校で一回も触れていなくともやれるものなのでしょうか…

          何度もすみません(>_<)

          • 「厳選262題」は一昨年までの過去約30年の入試攻略問題集から良問を選んでまとめたものです。もちろん現行課程に合わせて適宜改訂しています。
            「2018年版入試攻略問題集」は今年の入試問題から選んだものです。

            どちらも東大対策として使えますから安心して下さい。
            東大というと「難問が多い」と思われがちですが,そんなのは昔のことで,近年は普通の問題が大半です。特に今年は史上一番易しいと言われる程に普通の問題ばかりでした。

            東大のような世界レベルの教官を揃える大学がそういう入試をするには教官たちの中で十分議論した上でのことですから,来年急に入試傾向が変わるはずがありません。入試攻略問題集は(厳選262題も含めて)上位生向けの標準問題を集めたものですから,これがマスターできれば東大でも満点が狙えます。しっかり勉強して下さい。初めて解いてできなかった問題は,その場,一週間後,1,2ヶ月後と3回ぐらいは解き直しましょう。

            夏休みの勉強法について私の考えを書いておきます。

            1. 一つの教科を90分から120分ほど勉強したら他の教科を勉強する。毎日いろいろな教科をやる。
            2. 一日最低でも12時間は勉強する。7時間寝るとしたら14時間ぐらいは出来るはず。

            頑張って下さい!

          • 先生の確率分布の本、改訂版が出されるそうなのですが、

            東大には不要です。やらなくて大丈夫です。

            その本では確率密度関数の一般論を扱っていないので(まさかそんなものがセンターで出るとは!),書きたしたかったのですが諸事情で改訂版は出ません。
            このサイトにその部分の解説を載せるつもりですが,〆切りを過ぎた仕事をいろいろ抱えているので目処は立っていません。m(_ _)m

          • 何から何までありがとうございます!!先生の善意と真心に心から感謝しております!!

            素敵な日曜日をお過ごしください!!

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