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包絡線の手法が普及してきたかな

包絡線の手法が普及してきたかな


旺文社から「軌跡・領域 分野別標準問題精講」と言う問題集が出ていた。その名の通り,軌跡と領域の問題に特化した問題集だ。

通過領域を求めるのに重要な包絡線(ほうらくせん)まで扱っているというのに興味を持ったので立ち読みしてみた。だって,包絡線を受験生むけにきちんと解説している本はオレの「包絡線でガッツポーズ」ぐらいしか見たことがないからだ。

どう説明しているかと見てみると・・・「包絡線でガッツポーズ」と同じように解説している!\(^O^)/ソックリ!(爆)

2004年のセンター試験数2Bの第2問「微分・積分」で包絡線の求め方の原理を元にした問題が出題され,そのことに某受験数学雑誌の編集部でさえ気づいていないというのでその年の春にオレが包絡線の解説記事を書いた。自分で言うのもあれだが,かなり画期的な記事だったと思っている。(^^)v

  • 包絡線を用いて通過領域を求めるのは,高校の範囲を超えた手法として「いかがわしい手法」のようにそれまで思われていたはず。
  • しかし,オレの記事では通過領域の問題のほとんどに当てはまる「パラメーターについて2次」の場合は,完全に高校数学の範囲で包絡線を扱えることを示した。
  • しかも,それまで某受験雑誌が載せていた「高校の範囲の手法」は「唐突に判別式を用いる」というもので,方法の必然性が分かりにくいが,オレの方法は包絡線を求める手法として自然な計算を用いるので,違和感が少ない。

と言うものだった。
しかし,「この方法は受験業界に広まるはず」と確信していたのに,ビックリするほど反響がなかった。(^_^;)

オレの方法が有効なのは2014年入試で証明された。この年,東大と名大と名市大に「線分の通過領域」と言う超難問が出題され東大の理3合格者ぐらいしか正解者がいないと言われた中で,オレのクラスの生徒は全員その問題を簡単にクリアできたのだ。\(^O^)/

他人の書いた本にオレの手法が書かれるとは(著者がオレの書いた記事を読んだのかはもちろん不明だ),某受験雑誌に書いてから十年たってようやく広まりつつあるわけだ。時間がかかったなぁ。


包絡線に付いて知りたいという人は「包絡線でガッツポーズ」の方が

  1. 安くて(たった250円)
  2. 詳しくて
  3. フルカラーで読みやすい

と言うわけで,お勧めです。(^^)

追記。早速お買い求め頂いた方がいるようで,ありがとうございます。お読み頂いて面白ければ是非Amazonにレビューを書いて下さいませ。励みになります。(ブンブン(下)はレビューが付いたと思ったらまさかの☆1つで,理由が『Kindle Paperwhiteで読めない』。orz それはオレのせいじゃないよ。amazonの仕様だもん。)

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  1. いきなりすみません!
    何日か前から先生のブログを見させていただいてます。
    通過領域の問題の解き方は主に包絡線、ファクシミリ、実数の存在条件があると思うのですが、通過領域の問題はファクシミリの原理だけで全て解けると聞いたのですが、長谷川先生も同じようにお思いになられますか?

    • しんのすけさん,こんにちは。

      >通過領域の問題はファクシミリの原理だけで全て解けると聞いた

      もちろんそうです。ただし、問題によりどの方法が解きやすいかが異なります。
      「パラメーターについて2次」かつ「直線または線分の通過領域」の場合は包絡線が断然速くて正確です。
      それ以外は「ファクシミリの原理」か「パラメーターの存在条件」ですね。
      最近の入試問題では,誘導を付ける場合は「ファクシミリの原理」に相当する誘導を付けるようなので,「ファクシミリの原理」は勉強しておくべきだと思います。
      (この呼び名は,ファクスを知らない受験生が多数になったらどう替えるべきなのかな?(^_^;))

      ただし,「\(0\leq t \leq 1\)のときに,直線\(l : y=e^t x – te^t +e^t\)の通過領域を求めよ」と言う問題を後3分で解かなければ・・・と言う緊急事態になったら,包絡線の方法により「\(l \)は,曲線\(y=e^x\)の\(x=t\)の点での接線だ」と見抜いて(十数秒でできる!),さっと答を書くべきですね。この手法のことは「包絡線でガッツポーズ」を読んで下さい。(無料で読む方法はこちら。

      この問題は時間があればファクシミリの原理で解きましょう。(^^)

  2. 京都の高3です。長谷川先生の著書はマーク問題集と確率分布についてのもの以外は全て拝見しました。
    特に高校数学範囲での包絡線の導出手法はかなり為になりましたので、演習を積むべく、学校配布の参考書であるFocus Gold 数学II+Bを開いてみたところ、全く同じ手法が掲載されていました。220pに掲載されています。参考までに。

    • こんにちは。(^ ^)
      フォーカスにはついてましたか!それは知りませんでした。
      2005年のセンター試験でその手の問題が出た時には、某受験数学雑誌の編集部でも知られていませんでしたから、それだけ受験業界が進歩したという事ですね。

      今年の早稲田でも包絡線を知っていれば簡単という問題が出ていました。使える時はどんどん使ってください。

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