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瞬間部分積分とテーブル法にサヨナラを

はじめに

部分積分を簡単にする方法として予備校業界の一部に「瞬間部分積分」と「テーブル法」(部分積分USAとも呼ばれる」という方法が流布している。この記事では,これらの方法は本質が分かっていない上に計算に無駄が多いからやめようではないか,と提案する。

これらの方法の代わりにどうすればよいのか,と言う疑問に対しては「一気にブンブン」を紹介し,その発想は80年以上刊行が続く名著「解析概論」にあることも示す。

「部分積分をいかに簡単に計算するか」というテーマについては,この記事で決着がついたと確信している。

部分積分を簡単にするポイントは「途中の \( \displaystyle \int dx\)は省略して部分積分を繰り返す」だ

まず部分積分とは何か

\(\displaystyle F'(x)=f(x) \iff \int f(x)\,dx = F(x)+C\)のとき
\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = \underbrace{F(x)}_{積分した}\times g(x) -\int F(x)\times \underbrace{g'(x)}_{微分した}\,dx\)
となる。

これを「部分積分」と呼ぶ。「左辺の\(f(x)\)だけ積分して\(F(x)\)にする」と
いうのが名前の由来だろう。

部分積分の公式の証明

部分積分の公式の証明を確認しよう。その本質がよく分かるからだ。

そもそも\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx\)とは「微分して\(f(x)g(x)\)になる関数」
と言うものだ。

そこで
\(\{F(x)g(x)\}’=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)=f(x)g(x)+F(x)g'(x)\)
に注目する。右辺に\(f(x)g(x)\)が現れているので,
「微分して\(f(x)g(x)\)になる関数」
には\(F(x)g(x)\)が近いから,これを利用すればよい。

【部分積分の公式の証明】
\(\{F(x)g(x)\}’=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)=f(x)g(x)+F(x)g'(x)\)
より
\(f(x)g(x)=\{F(x)g(x)\}’ -F(x)g'(x)\)

両辺を積分して
\begin{align*}
\int f(x)g(x) \,dx &= \int \{F(x)g(x)\}’\, dx – \int F(x)g'(x)\,dx\\
&=F(x)g(x) -\int F(x)g'(x)\,dx
\end{align*}
(証明終わり)

つまり,部分積分とは
\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = \underbrace{F(x)g(x)}_{答に近いもの}
-\underbrace{\int F(x)g'(x)\,dx}_{修正}\)
と言う形をしている。このことは後に述べる「瞬間部分積分の問題点」に深く関わる。

部分積分の例1と「ブンブン」の導入

\(\displaystyle \int_1^2 (x-1)(x-2)\,dx\)を求めるなら,ハイレベルな受験生は次のようにするだろう。
\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)\,dx =-\frac16(\beta-\alpha)^3\quad \cdots (1)\)
を用いて
\(\displaystyle \int_{1}^{2} (x-1)(x-2)\,dx =-\frac16(2-1)^3=-\frac16\)

では,積分区間の上端を\(\color{red}3\)に変えたらどうだろう?
\(\displaystyle \int_1^{\color{red}3} (x-1)(x-2)\,dx\)

これを計算するには公式(1)は使えないから,多くの受験生が\((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)と展開して積分するはずだ。
しかし,私は部分積分を勧める。やってみよう。
【部分積分の例1】
\begin{align*}
&\int_1^{\color{red}3} (x-1)(x-2)\,dx\\
&=\Big[\underbrace{\frac12(x-1)^2}_{積分した}(x-2)\Big]_1^3 -\int_1^3 \frac12(x-1)^2 \times\underbrace{1}_{微分した}\,dx\\
&=\Big[\frac12(x-1)^2 (x-2)\Big]_1^2 -\Big[\frac16 (x-1)^3 \cdot 1\Big]_1^2 \\
&=2-\frac43 =\frac23
\end{align*}

これを見せると「こんなに書くなら展開して積分した方が良い」と思うだろうが,この計算はもっと楽になる。
\(\displaystyle \int_1^3 \frac12(x-1)^2 \times 1\,dx\)の部分は「次に\(\displaystyle \frac12 (x-1)^2\)を積分する」と分かっているのだから,書く必要はない。\(\displaystyle \int_1^3\frac12 (x-1)^2\times 1\,dx\)を省略してしまおう。
次のようになる。
ss 2016-07-14 17.25.12
(「高木貞治とブンブン(上): 文系も理系も整式を部分積分しよう」より)

部分積分を一気に終わらせるから「一気に部分積分」と私は教えていたのだが,生徒が「長くて言いにくいから『一気にブンブン』と呼んで良いですか」と言って来て以来,そう呼んでいる。

部分積分の例2と「ブンブン」の一般化

次は\(\displaystyle \int_1^2 (x-1)^2 (x-2)^2\,dx\)を部分積分してみよう。整式の積分では一番難しいものだろう。

【部分積分の例2】
\begin{align*}
&\int_1^2(x-1)^2 (x-2)^2\,dx\\
&=\Big[\underbrace{\frac13(x-1)^3}_{積分した}(x-2)^2\Big]_1^2
-\int_1^2 \frac13(x-1)^3 \times \underbrace{2(x-2)}_{微分した}\,dx \\
&=\Big[\frac13(x-1)^3 (x-2)^2\Big]_1^2
-\Big[\underbrace{\frac1{12}(x-1)^4}_{積分した}\times 2(x-2)\Big]_1^2
+\int_1^2 \frac1{12}(x-1)^4 \times \underbrace{2}_{微分した}\,dx \\
&=\Big[\frac13(x-1)^3 (x-2)^2\Big]_1^2
-\Big[\frac1{12}(x-1)^4 \cdot 2(x-2)\Big]_1^2
+\Big[\frac1{60}(x-1)^5 \cdot 2\Big]_1^2\\
&=\frac1{30}
\end{align*}

大変な計算だが,途中の\(\displaystyle \int \quad dx\)を省略してしまえば簡単だ。次のようになる。
ss 2016-07-14 17.53.28
(「高木貞治とブンブン(上): 文系も理系も整式を部分積分しよう」より)
ただし、赤い丸の部分は部分積分の公式の「\(\displaystyle -\int F(x)g'(x)\,dx\)」の「ー」によるものなので,「ー」「+」が交互に入る。

以上が「ブンブン」である。要するに,部分積分を簡単にするには途中の\(\displaystyle \int \quad dx\)を省略して部分積分を繰り返すと言うだけのことだ。

詳しくは私の電子書籍「高木貞治とブンブン(上): 文系も理系も整式を部分積分しよう」をご覧下さいませ。(スマフォやPCでも読めます。)

この本には整式のブンブンの練習問題を多数収録しているので,文系生理系生ともに役立ちます。

数3らしい関数でのブンブン

次は数3らしい関数でブンブンしてみよう。\(\displaystyle \int_0^\pi x^2\cos x\,dx\)だ。
上と同様に出来る。
ss 2016-07-14 18.02.21

ちょっと練習するだけでこんな計算はスラスラと出来てしまいます。理系生は「高木貞治とブンブン(下): 数IIIの部分積分を簡単にしよう」を是非お読みくださいませ。

注意!被積分関数に対数関数が入っているときはブンブンできない

ブンブンは便利なので身につけるとドンドン使いたくなるようだが,\(\log x\)のような対数関数が被積分関数にあるときは使えないことに注意して欲しい。

ブンブンは「積分する関数は積分を繰り返し、微分する関数は微分を繰り返す」という単純な計算なのだが,対数関数がある場合の積分は途中で分数式の処理が必ず起こるからだ。

例えば
\begin{align*}
\int \log x \,dx &=\int 1\times \log x\,dx\\
&=\underbrace{x}_{積分した}\times \log x – \int x\times
\underbrace{\frac1x}_{微分した}\,dx \\
&=x\log x -\int \underbrace{1}_{約分した}dx \\
& (この約分のような処理があるからブンブンできない)\\
&= x\log x -x +C
\end{align*}

これを無理にブンブンすると「ブンブンが永久に終わりません」という悲惨なことになる。
この程度の積分は,どうしても書く分量を減らしたいなら,暗算すればよい。

「ブンブン」の元祖は「解析概論」

ブンブンのような計算を始めたのは私ではなく,明治の日本が生んだ大数学者・高木貞治だ。氏の著作の中でも余りに有名な,大学1,2年レベルの微積分を解説した「解析概論」(岩波書店)は80年以上売れ続けている名著であり,日本の数学者はもちろんのこと,数学科の学生なら誰でも知っている本だが,その中に「ブンブン」に相当する計算が載っている。

同書の§35から引用しよう。
ss 2016-07-14 18.27.27
ただし,\(v^{(n)}\)は,関数\(v\)を\(n\)回微分したものを意味する。(他も同様)
従って、上記の式は次のような意味になる。
ss 2016-07-14 18.29.51
これはまさにブンブンだ!
「ブンブンを使えば部分積分が楽になるぞ」といい気になって生徒に教えているとき,数3のテキストを書くのに説明の書き方に困り,そういうときはいつも「解析概論」を見れば解決するのでパラパラとページをめくっていて上の式を見つけたときの衝撃を是非分かって欲しい。
「いままでなんで見過ごしていたんだろう・・・」
と頭を抱えた。一冊をきっちりすべて読むよりも面白そうな所を拾い読みするというオレの習性が招いたことなんだが,参った。

でも,せっかく生徒が付けてくれた名前なので開き直って「ブンブン」と呼び続けているのだ。(^^)v

因みに,解析概論では部分積分を簡単にする方法を紹介した後,それを用いてテーラー展開などを鮮やかに導いている。それも「高木貞治とブンブン(下): 数IIIの部分積分を簡単にしよう」では解説している。

\(\displaystyle \int e^x \sin x\,dx\)をブンブンする

ss 2016-07-14 18.29.51
これを利用して\(\displaystyle \int e^x \sin x\,dx\)をブンブンしてみよう。次のようになる。
ss 2016-07-17 7.21.33
面倒な\(\displaystyle \int e^x \sin x\,dx\)が簡単に終わる。定積分でも同様だ。ブンブンの威力が分かると思う。

詳しくは「高木貞治とブンブン(下): 数IIIの部分積分を簡単にしよう」をどうぞ。

瞬間部分積分とその問題点

瞬間部分積分とは,かつての代ゼミの黄金時代を支えた数学講師,故・山本矩一郎氏が始めたものだと思う。
「2000/11/6 君は瞬間部分積分を見たか」(リンク先の下の方)はwebで見つけた根拠の1つだ。そこで言及されている山本矩一郎「山本の直感的微積分――はじめにグラフありき」(代々木ライブラリー、1989年)に瞬間部分積分の解説があるようだが私は読んだことがない。しかし,山本氏と関係の深い講師が同時期に書いた本から瞬間部分積分の解説を引用しよう。おそらく山本氏の解説も同様であろう。出典は分かる人にだけ分かるように書いておくが,安田亨「微分積分初級問題集」(代々木ライブラリー,1988年)だ。こんなのを信じ込ませた山本氏も罪深いよね

瞬間部分積分の例1

ss 2016-07-14 18.43.53
部分積分の公式を用いないで計算する,と宣言しているわけだ。
部分積分の公式を当てはめれば機械的に計算できるのに,わざわざ「使わない」と言うのだ。何故そんなことを思うのか,オレは理解できない。続けよう。
ss 2016-07-14 18.49.19
最初の「\(x\log x\)あたりかな」からオレはついていけない。無理。
生徒に「\(x\log x\)を思いつけ」と教える度胸はない。そんなことをしたら翌週から生徒は出てこなくなるだろう。

部分積分の公式を使えば
\begin{align*}
\int \log x \,dx &=\int 1\times \log x\,dx\\
&=\underbrace{x}_{積分した}\times \log x – \int x\times
\underbrace{\frac1x}_{微分した}\,dx \\
&=x\log x -\int 1\,dx \\
&= x\log x -x +C
\end{align*}
と,「1を積分して\(x\)」という技法だけ覚えておけば誰でも出来るし,この計算の途中を暗算で済ませて最後の結果だけ書くのも容易だと思う。瞬間部分積分は何のメリットがあるのか理解できない。
ss 2016-07-14 18.56.14
「カッコの中のことはすべて頭の中で行う」といって計算を楽にしているつもりのようだが,普通に部分積分を暗算で実行する方が単純で速い。瞬間部分積分だと試行錯誤が必要で,全然楽ではない。何がしたいのだろう。

瞬間部分積分の例2

ss 2016-07-14 18.58.38

オレには無理。これを「瞬間」と呼ぶセンスは理解できない。
書き写してみよう。目眩がしてくる。

  1. \(\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x\)と書いてしまう。
  2. \(\displaystyle x\sin x\)を微分して\(\displaystyle x\cos x\)に戻るか確認。\(\displaystyle (x\sin x)’=x\cos x +\sin x\)となり,戻らない。
  3. \(\displaystyle \sin x\)が余分だから,微分して\(\displaystyle \sin x\)になる\(\displaystyle -\cos x\)を引く。
  4. \(\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-(-\cos x)=x\sin x +\cos x +C\)となり,完成。

これで瞬間部分積分と呼ぶのは如何なものか。

ブンブンなら
\(\displaystyle \int x\cos x \,dx =x\times \underbrace{\sin x}_{積分した} -\underbrace{1}_{微分した}\times \underbrace{(-\cos x)}_{積分した} +C\)
で本当に一瞬だ。「右辺が整理されていない」と批判する人がいるようだが,入試ではこんなのは定積分であるのが普通だ。
例えば
\(\displaystyle \int_0^\pi x\cos x \,dx =\Big[x\sin x -1\cdot (-\cos x)\Big]_0^\pi = -2 \)
というように積分するのだから,不定積分([ ]の中)を整理していないのは全く問題ではない。

瞬間部分積分の問題点

瞬間部分積分は「答に近いものを予想し,修正して瞬間に求める」(全然『瞬間』ではない!)と言う意図だろうが,元々部分積分の公式は
\(\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = \underbrace{F(x)g(x)}_{答に近いもの}
-\underbrace{\int F(x)g'(x)\,dx}_{修正}\)
と言う形をしている。

つまり瞬間部分積分がしたいことを実現しているのが部分積分の公式なのだ。
それなのに部分積分の公式を用いずに計算しようという倒錯した方式が瞬間部分積分だ。部分積分の公式を何か勘違いしているのだろう。
瞬間部分積分は時間がかかりミスしやすく何のメリットもない。

瞬間部分積分を解説している本やサイトは今でもあるが、そこで紹介されているようなものは普通に部分積分の公式で暗算できるものばかりだ。

テーブル法=USA積分とその問題点

テーブル法と呼ばれている手法と,USA積分,部分積分USAとか呼ばれているものは同じものだ。ここではテーブル法と呼ぶことにする。

テーブル法の例

\(\displaystyle\int x^2 e^{2x}\,dx\)を求めるとき,テーブル法では次のようなテーブルをまず書く。
ただし,最後の行の0は使わないので書かなくてもよい。
ss 2016-07-14 19.18.44
次に斜め「」にかけ算し、足す,引くを交互に並べると答になる。
ss 2016-07-14 19.21.57
この不自然な操作(斜めにかけるってなんだよ?)をすると
\(
\displaystyle\int x^2 e^{2x} \,dx= x^2 \cdot \frac12 e^{2x} – 2x\cdot \frac14 e^{2x} +2\cdot \frac18 e^{2x} +C \quad \cdots (★)
\)
このような求め方を「テーブル法」と呼ぶ。
さて,質問。テーブル法による計算が正しい理由は何ですか?

こんな計算を見せられたら誰でも思うはずの疑問だよな。そう思わない人がいる(驚くほどたくさんいるんだぜ(^_^;))ことがオレは理解できない。

テーブル法が正しい理由は
「部分積分を繰り返すと(★)が得られるので,(★)を導くテーブル法は正しい」
だ・・・何かおかしいと思わないか?

  1. テーブル法は(★)を導くためのもの。
  2. テーブル法が正しいのは,部分積分を繰り返して(★)が導かれることから保証される。
  3. それならテーブルなんか書かないで最初から(★)を書けば良い。(アタリマエ)

まとめれば「テーブル法が正しい理由『2』をちゃんと教えたら,テーブルを書く必然性はなくなる」と言うことだ。

テーブル法の問題点〜何故正しいのかを考えていない

上のことから分かるように,テーブル法を教える講師・サイトのほとんどはそれが正しい理由を教えない。教えてしまうとテーブルを書く必要がないと分かるからだ。

つまり,テーブル法を教える側もそれで納得する側も「何故正しいのか」を考えない
これは数学を学ぶ態度としておかしい

テーブル法愛好家にはSuperテーブル法Japanがお勧め(爆笑ものだぜ)

テーブル法を好む方は,どう説明しても「テーブルを書いた方が分かりやすい」と思うようだ。
そこで,

  1. テーブルをちゃんと書く。
  2. しかも,書く分量は半減しブンブン並になる

という「Superテーブル法Japan」を開発しました。
どういうものかは上記のヒントで明らかだと思うが,ピンと来なければ「高木貞治とブンブン(下): 数IIIの部分積分を簡単にしよう」の巻末に載せたので,是非お読みくださいませ。Kindle Unlimitedに入って読んですぐに解約すれば無料で読めます。Kindle Unlimitedは加入から一ヶ月は無料)

授業でテーブル法の計算を見せてからSuperテーブル法Japanを見せると生徒たちは必ず爆笑するという,ワタクシの持ちネタです。
「その方が簡単」
「コロンブスの卵」
「そのテーブルの方が部分積分として自然」
「斜めにかけるなんてバカバカしい」
と言うわけです。

テーブル法が生まれた理由の推定

テーブル法はアメリカの大学の1,2年向け(日本の高3レベルの微積を扱う)の教科書のうち,比較的レベルの低いもので扱われている。「学力の低い学生に部分積分を習得させる」のに向いているから,プラグマティズムのアメリカで生まれたのだろう。「理屈はわからなくてよいから,とにかく覚えろ」と指導するわけだ。

あるいは印刷技術の問題かも知れない。昔は
\(
\displaystyle\int x^2 \underbrace{e^{2x} }_{fとする}\,dx= \underbrace{ x^2}_{uとする}\times \underbrace{\frac12 e^{2x} }_{fを積分} – \underbrace{2x}_{uを微分}\times \underbrace{\frac14 e^{2x}}_{さらに積分} +\underbrace{2}_{さらに微分し定数} \times \ \underbrace{\frac18 e^{2x}}_{さらに積分} +C
\)
のような印刷はできなかった。
しかし次のようなテーブルは印刷できた。

  \(x^2\)  \(e^{2x}\)
  \(2x\) (微分した。以下微分を繰り返す)   \(\frac12 e^{2x}\) (積分した。以下積分を繰り返す)
 \(2\)  \(\frac14 e^{2x}\)
  \(0\) (0になったら終わり)  \(\frac18 e^{2x}\)

だから,テーブルを用いて説明したのではないだろうか。

そのテーブルだけが日本の一部の予備校で妙に広まった,と言うわけだ。

最後に

部分積分を簡単にしたいのなら,是非,拙著をお読みください。PCやスマフォ,タブレットで読めます。amazonのサイトでkindleソフトをダウンロードして下さいませ。

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  1. 感動しました。ブンブン最高ですね。どうもありがとうございます。早速kindle版を購入させていただきました。

    わたくし、1980年代の受験戦争真っ盛りの時代に山本矩一・安田亨両氏の講義を受けていました(って年がばれますが)。そしてこの度、人様に数学を教える身分となるにあたり「そういや山本先生の瞬間部分積分法ってどんなんだっけ?」とふと思い出しWEB検索をした結果、本サイトに行き当たりました。
    いやあ素晴らしい。目からうろこです。

    掲載されている「6.瞬間部分積分法」のテキストは安田亨氏の80年代の代ゼミライブラリー刊の問題集ですね。たぶん私持っています。
    山本氏も安田氏も、講義においては「瞬間部分積分法」に代表される一連の標語的なことを持ち出すことはほとんど無かったです。だから当時安田氏の問題集を見て「あ、これが瞬間部分積分法か」と、うぶな受験生だった私はそれにすがった記憶があります。当時の私は部分積分の公式を覚えるのが大変だったので、安田氏の記述を読んで「そっか、別に覚える必要無いんだ」で、そのまま覚えずに来てしまいました。
    今でも私は「受験数学に部分積分はそれ程重要ではない」と思ってはいますが、ブンブンだったら覚えられそうな気がします(高校生でも)。

    本サイトが改装工事中とのことですが、多数の記事がリンク切れとなっているのがとても残念です。
    早く過去記事が見れるようになるとうれしく思います。
    それでは。

    • 丘さん,こんにちは。私も80年代に夏期講習で安田さんの授業を受けましたから,丘さんと同年代ですね,たぶん。
      瞬間部分積分は私は高校生の時にまさに安田さんの問題集で読みましたが意味不明な計算で(『\(x\sin x\)と書いてみる』などが全くわかりませんでした),使わないまま忘れていました。
      自分が受験生に数学を教えるようになって,あるとき「ブンブン」を教えるようになり(その辺りのことはkindle本でご覧下さい),
      「・・・もしかして瞬間部分積分って」
      と昔の問題集(はい,まさにその代々木ライブラリーの本です)を引っ張り出してきて読み直して「あああ!」と思いました。


      >本サイトが改装工事中とのことですが、多数の記事がリンク切れとなっているのがとても残念です。

      元のサイトを作っていたソフトが動かなくなってしまったので,過去記事は改めて書き直さないといけないのです。
      どういう記事を書いたか記録はあるので,ボチボチやっていきますから,お待ちくださいませ。
      internet archiveで読める記事もあります。

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