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割り算の問題は「困ったら」本当に割ってみよう

割り算の問題は「困ったら」本当に割ってみよう

整式の割り算についての問題は,まずは因数定理・剰余定理などを利用することを考えるべきですが,それではうまくいかない難しいものもあります。例えば

【京大】任意の3次式 \(f(x)=x^3 +ax^2 + b x +c \) について,
\(f(f(x))-x\) は \(f(x)-x\)で割り切れることを示せ。


意外と受験生の盲点ですが,
「割り算の問題は,
 ・まずは剰余定理や因数定理
 ・それでダメなら,次は本当に割ってみる」
というのが重要です。(いきなり割り算に行くのは勧めない)

実際この問題も, \(y=f(x)\) とおき,\(f(f(x))-x=f(y)-x\) を \(f(x)-x=y-x
\)で本当に割ってみればよいのです。(組み立て除法を用いればさらに容易です)

商が \(y^2 +(x+a)y + x^2 +a x +b +1\)となり割り切れることがすぐに分かります。

【受験数学BLOG 2014/8/20より】

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