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等比数列の和の公式を導く

等比数列の和の公式を導く

数学を勉強するときは,定理・公式はその証明から理解することが大切だ。遠回りに見えても役に立つからだ。

その例として,等比数列の和の公式(公比\(r\)が1でない場合)を導く方法を確認してみる。


等比数列\({ar^{n-1}}\)の公比\(r\)が1でないとき,その初項 \(a\) から第 \(n\) 項 \(ar^{n-1}=l\) までの和(\(l\)は末項last term の\(l\))を
\(S=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots +l \tag{3}\)
とする。両辺に\(r\)をかけて
\(rS=\qquad ar+ar^2+ar^3+cdots +l+lr \tag{4}\)
(3)−(4)とすると右辺の多くの項が消えてしまい(ウマイ!)
\((1-r)S=a \qquad \qquad \qquad \qquad -lr\)
両辺\(\div (1-r)\)より
\(\displaystyle S=\frac{a – l r}{1-r} =\frac{(初項)-(末項)\times (公比)}{1-(公比)}\tag{1}\)
\(l=ar^{n-1}\)を代入して整理すると
\(\displaystyle
S= a\frac{1-r^n}{1-r}=(初項)\times \frac{1-(公比)^{(項数)}}{1-(公比)} \tag{2}
\)


高校の教科書には(2)しか載っていないが(何故だろう?),以前の記事に書いたように(1)は役に立つ。
(1)を丸暗記するのは無理だろうが,導き方から理解すれば容易に覚えられるはずだ。

【受験数学BLOG 2014/8/28より】

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