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ベクトルにメネラウスを使ってみる

ベクトルにメネラウスを使ってみる

平面ベクトルの問題にメネラウスを使ってみる。
【2010年山形大】
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。辺ABの中点をP,線分PBの中点をQ,辺BCを2:1に内分する点をR,線分PRと線分CQの交点をSとする。さらに,\(\overrightarrow{\mbox{AB}}=\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{\mbox{AC}}=\overrightarrow{c}\)とおく。このとき,次の問いに答えよ。
(1) 内積\(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\)を求めよ。
(2) \(\overrightarrow{\mbox{AR}}\)を\(\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{c}\)を用いて表せ。
(3) \(\overrightarrow{\mbox{AS}}\)を\(\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{c}\)を用いて表せ。
(4) \(|\overrightarrow{\mbox{AS}}|\)の値を求めよ。
(5) 三角形APSの面積を求めよ。


この問題を解くのに次のような図を書くだろう。

ss 2016-07-09 17.44.10

ここでは(3)だけを解いてみる。

(3)で\(\overrightarrow{\mbox{AS}}\)を\(\overrightarrow{\mbox{AB}}=\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{\mbox{AC}}=\overrightarrow{c}\)で表すためにはCS:SQがわかればよい。

普通は(2)の結果と「直線のベクトル方程式」を用いて(3)を解く。

しかし,メネラウスを使えば(2)を解かずに直接(3)が解ける。図が複雑なのでメネラウスを思いつかない生徒がほとんどだが,線分CQを含む「キツネ」を探せば簡単だ。

図の青い部分の「キツネ」に注目しよう。Bがキツネの鼻,CとPがキツネの耳だ。(太線と◎○の付け方は2015/01/16の記事の後半「私の勧めるメネラウスの使い方」で詳しく解説しました。)

ss 2016-07-09 17.44.15

玄関の中程にあるように◎と○を順にたどって
\(
\frac{\mbox{CS}}{\mbox{SQ}}\cdot
\frac{\mbox{QP}}{\mbox{PB}}\cdot
\frac{\mbox{BR}}{\mbox{RC}}=1
\)
\(
∴ \quad
\frac{\mbox{CS}}{\mbox{SQ}}\cdot
\frac{\mbox{1}}{\mbox{2}}\cdot
\frac{\mbox{2}}{\mbox{1}}=1
\)
\(
∴ \quad
\frac{\mbox{CS}}{\mbox{SQ}}=1
\)
\(\displaystyle
∴ \quad \overrightarrow{\mbox{AS}}=\frac{\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\overrightarrow{\mbox{AC}}}2
=\frac{\frac3 4\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}2
=\frac3 8 \overrightarrow{b} +\frac1 2\overrightarrow{c}
\)


このようにメネラウスの定理はベクトルの問題にも役に立ちます。
【受験数学BLOG 2014/8/25より】

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