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数列の和

数列の和

等比数列\({ar^{n-1}}\)の公比\(r\)が1でないとき,その初項 \(a\) から第 \(n\) 項 \(ar^{n-1}=l\) までの和(\(l\)は末項last term の\(l\))

\(S=a+ar+ar^2+\cdots +l\)

を求めるときは

\(\displaystyle S=\frac{a – l r}{1-r} =\frac{(初項)-(末項)\times (公比)}{1-(公比)}\tag{1}\)

とすることを生徒には勧めています.(注.この公式の導き方はこちら

教科書に載っている

\(\displaystyle
S= a\frac{1-r^n}{1-r}=(初項)\times \frac{1-(公比)^{(項数)}}{1-(公比)} \tag{2}
\)

は \(r^n\) の \(n\)の部分がミスしやすいからです.

例えば

\(\displaystyle S=\frac14+\frac12+1+2+2^2 + \cdots  +2^{2014}\)

を(2)から求めるにはチョット考えてしまいますが,(1)を使えば

\(\displaystyle S=\frac{\frac14 -2^{2014} \cdot 2}{1-2}= 2^{2015}-\frac14\)

とサッと求められます。

【受験数学BLOG 2014/8/19より】

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  1. 3項間漸化式の特性方程式の記事を復活させてほしいです。重解を持つ時どのようにするのか忘れてしまいました。

    • charmさん,こんにちは。
      三項間漸化式の解き方を詳しく解説したものは後で記事にしておきますが,とりあえずcharmさんがお困りの部分を・・・
      \(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\quad (p,qは定数)\)
      の特性方程式
      \(x^2 =px +q\)
      が\(\alpha\)を重解にもつ場合は
      \(a_n = u\alpha^{n-1} +v n \alpha^{n-1}\quad (u,vは定数)\)
      と表されます。

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